Contoh soal garis Singgung persekutuan. Luar

1. Jari-jari dua lingkaran adalah sebagai berikut 8 cm dan 3 cm. Jarak antara dua lingkaran tersebut adalah 13 cm. Hitunglah garis singgung persekutuan luar lingkaran tersebut!

Penyelesaian :
Diketahui : jari-jari lingkaran 1 (r1) = 8 cm
                    Jari-jari lingkaran 2 (r2) = 3 cm
                   Jarak 2 lingkaran. (P).   = 13 cm
Ditanya. Garis singgung persekutuan luar (gL)?
Jawab.

      gL = √p²-(r1-r2)²
      gL = √13² - (8-3)²
      gL = √169 - (5)²
      gL = √169-25
       gL = √ 144
      gL = 12 cm

2. Diketahui jari-jari dua lingkaran  10 cm dan 5 cm, jika garis singgung lingkaran luar tersebut 12 cm. Maka hitunglah jarak antara dua lingkaran tersebut!

Penyelesaian :
Diketahui jari-jari lingkaran 1 (r1) = 10 cm
                  Jari-jari lingkaran 2(r2) = 5 cm
                  Garis singgung p.luar (gl) = 12 cm
Ditanya jarak dua lingkaran (p)?
Jawab.

               P² = gL²+ (r1-r2)²
               P² = 12²+(10-5)²
               P²= 144+(5)²
               P²= 144+25
                P²= 169
               P = √169
               P = 13 cm
Jadi jarak dua lingkaran adalah 13 cm


3. Garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah 40 mm. Jarak kedua lingkaran adalah 50 mm. Jika jari-jari lingkaran dua 10 mm, maka hitunglah jari-jari lingkaran 1!

Penyelesaian:
Diketahui : garis singgung lingkaran luar (gL) = 40 mm
                    Jarak dua lingkaran                  (p)   = 50 mm
                    Jari-jari lingkaran dua .             (r2) .= 10 mm
Ditanya .   : jari-jari lingkaran satu (r1)?
Jawab.

(r1-r2)² = p² - gL²
              = 50²-40²
              = 2500-1600
(r1-r2)²  = 900
(r1-r2) .  =√900
(r1-r2) .  =30
(r1-10) . = 30
r1 .    = 30+10
r1.      = 40 mm
Jadi jari-jari lingkaran 1 adalah 40 mm

Contoh soal garis singgung persekutuan dalam

Contoh soal

1. Dua buah lingkaran mempunyai jari-jari 4 cm dan 2 cm. Jika jarak antara pusat kedua lingkaran 10 cm, maka hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut!

Penyelesaian:
Diketahui: jari-jari lingkaran 1 (r1) = 4 cm
                  Jari-jari lingkaran 2 (r2) = 2 cm
                  Jarak 2 lingkaran   (p)    = 10 cm
Ditanya : panjang garis singgung persekutuan dalam (gd)?
Jawab:

           Gd= √p² -(r1+r2)²
               = √10² - (4+2)²
               = √100 - (6)²
               = √100 - 36
               = √64
                = 8 cm
     Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 8 cm

2. Diketahui jari-jari lingkaran satu adalah 5 cm dan jari-jari lingkaran dua adalah 3 cm .Jika garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 15 cm .Hithnglah jarak antara dua lingkaran tersebut!

Penyelesaian
Diketahui : jari-jari lingkaran 1 (r1) = 5 cm
                   Jari-jari lingkaran 2 (r2) = 3 cm
                   Garis singgung p.dalam = 15 cm
Ditanya : jarak antara dua lingkaran (p)?
Jawab.

   P² = gd² + (r1+r2)²
   P² = 15² + (5+3)dari  P² = 225 + (8)²
   P² = 225 + 64
   P = √ 289
   P  = 17 cm
   Jadi jarak antara dua lingkaran adalah 17 cm

3. Jika diketahui garis singgung persekutuan dalam lingkaran adalah 24 cm dan jarak dari dua buah lingkaran tersebut adalah 26 cm, jari-jari lingkaran 2 adalah 3 cm. Maka tentukanlah panjang jari-jari lingkaran 1 !

Penyelesaian:
Diketahui : garis singgung persekutuan dalam ( gd)  = 24 cm
                    Jarak antara dua lingkaran   ( p).            = 26 cm
                    Jari-jari lingkaran 2.                (r2) .       = 3 cm
Ditanya : jari-jari lingkaran 1?
Jawab.

 (r1+r2)² = p² - gd²
                = 26² - 24 ²
                = 676 - 576
 (r1+r2)²= 100
  (r1+r2) = √100
   (r1+r2) = 10
   (r1+3)  = 10
    r1 .       = 10 - 3
    r1 .       = 7 cm

jadi panjang jari-jari lingkaran 1 adalah 7 cm

Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran. contoh:

Sedangkan garis yang membelah lingkaran di bawah ini bukan termasuk garis singgung

Ada tiga rumus utama yang digunakan di dalam materi garis singgung.
1. Rumus untuk menghitung panjang garis singgung lingkaran.
       untuk menghitung panjang garis garis singgung lingkaran, dapat menggunakan rumus pythagoras

2. Rumus untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam
       untuk menghitung panjang garis garis singgung persekutuan dalam, dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

                Keterangan :
                gd = garis singgung persekutuan dalam
                 P  = jarak antara dua lingkaran
                 r1 = jari-jari lingkaran 1
                 r2 = jari-jari lingkaran 2
                       
                 Untuk mencari jarak antara dua lingkaran, rumus diatas menjadi :

                    P² = gd² + (r1+r2)²
               
                 Untuk mencari jari-jari salah satu lingkaran, rumus di atas menjadi :

                    (r1+r2)² = p² - gd²

3. Rumus untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan luar
       untuk menghitung panjang garis garis singgung persekutuan luar, dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

                     Keterangan :
                     gL   = garis singgung persekutuan luar
                      P   = jarak antara dua lingkaran
                      r1  = jari-jari lingkaran 1
                      r2  = jari-jari lingkaran 2


                 Untuk mencari jarak antara dua lingkaran, rumus di atas menjadi :
               
                  P² = gL² + (r1-r2)²

                  Untuk mencari jari-jari lingkaran, rumus menjadi :
             
                   (r1-r2)² = p² - gL²

Contoh Soal Penerapan Bangun Bola dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal penerapan bangun bola dalam kehidupan sehari-hari 

1.      Sebuah kubah  masjid memiliki diameter 28 m. Kubah tersebut akan dilapisi cat. Jika harga pengecatan setiap 1 m² adalah Rp 10.000. Hitunglah biaya pengecatan kubah masjid!

Diketahui : diameter kubah masjid = 28meter                    Jari-jari kubah masjid  =  28/2 = 14 meter                    Biaya pengecatan per  4 m2 = Rp 10.000 Ditanya: Biaya pengecatan kubah masjid? Jawab:  Luas permukaan kubah masjid = luas permukaan setengah bola L permukaan kubah masjid       = ½ (4π r2) L permukaan kubah  masjid      = ½(4.22/7.14.14) L permukaan kubah  masjid      = ½(2.464) L permukaan kubah  masjid      = 1.232 m2

Jadi, Biaya pengecatan kubah masjid adalah = L permukaan kubah  masjid  x biaya pengecatan               4  = 1.232   m2 /4 m2 x Rp 10.000 = 308 x Rp 10.000 = Rp 3.080.000,-

Contoh Soal tentang Lingkaran

     1. Diketahui luas sebuah lingkaran adalah 154 cm2. Jari-jari dan diameter lingkaran tersebut adalah!

a.       7 cm dan 14 cm

b.      10 cm dan 20 cm

c.       14 cm dan 28 cm

d.      16 cm dan 32 cm

2. Jika besar ∠ POQ = 90° dan panjang jari-jari OP = 14 cm. Maka panjang busur besar PQ adalah......

a.       11 cm

b.      12 cm

c.       22 cm

d.      21 cm

3. Jika ∠ ABC = 120 dan panjang jari-jari lingkaran tersebut 21 cm. Maka luas juring ABC lingkaran tersebut adalah....

a.       462 cm                  c. 154 cm

             b.     314 cm                    d. 66 cm

Penerapan bangun ruang lengkung dalam kehidupan

Bangun ruang lengkung banyak sekali diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya bangun bola banyak diterapkan dalam alat-alat olahraga seperti bola sepak, bola volly, bola basket, bola tenis, bola kasti dan sebagainya. Selain itu bangun ruang bola juga diterapkan dalam bangunan seperti kubah masjid (berbentuk setengah bola), stadion tertutup terkadang juga beratap setengah bola. Sedangkan bangun ruang tabung banyak diterapkan dalam tempat-tempat penyimpanan makanan dan minuman seperti botol-botol minuman, botol sirup, botol kecap. dan ada juga yang diterapkan dalam dunia industri seperti tangki penyimpanan minyak, tempat roaster kopi di pabrik pengolahan kopi.
Bangun kerucut juga banyak diterapkan dalam kehidupan sehari- hari misalnya contoh paling sederhana itu topi ulang tahun, tempat es krim, kap lampu, timba dan lain sebagainya.

Soal Bangun Ruang

1. Sebuah kotak berbentuk kubus memiliki panjang rusuk 14 cm. Volume bola terbesar yang dapat dimasukkan dalam kotak tersebut adalah........

a. 11.498,67.     b. 8.412,67.       c. 1.437,33 .       d. 821,33

Jawaban: c

Pembahasan :

Bola terbesar yang dapat dimasukkan dalam sebuah kubus memiliki diameter yang sama panjang dengan rusuk kubus.

Diket: diameter bola= rusuk kubus

            d = 14 cm

            r = 14/2 = 7 cm

Ditanya: bola terbesar yang dapat dimasukkan ke kubus?

Jawab. Vbola = 4/3 π r.r.r

                          = 4/3. 22/7. 7.7.7

                          = 1.437,33 cm